Что означает и чем отличаются неопределенность и ошибки (допуск)

Неопределенность и ошибки

При измерении физических величин, таких как длина, вес или время, в процессе измерения могут возникать ошибки, влияющие на результаты. Эти ошибки называются ошибками. Ошибки могут быть вызваны различными факторами, такими как неисправные измерительные инструменты, человеческая ошибка при считывании показаний или проблемы с измерительной системой. Например, если термометр неисправен и показывает неправильную температуру, каждое снятое с его помощью показание будет иметь определенную погрешность. Это делает наши измерения неопределенными, поскольку они не соответствуют точно истинному значению. Когда мы не уверены в истинном значении измерения, мы рассматриваем диапазон возможных значений, известный как диапазон неопределенности. Понимание неопределенности и ошибок имеет решающее значение, поскольку оно помогает нам принимать более обоснованные решения на основе имеющейся информации.

Разница между неопределенностью и ошибкой

И ошибки, и неопределенности являются важными понятиями в измерении, но они имеют разные значения. Ошибка — это численная разница между фактическим значением и измеренным значением. С другой стороны, неопределенность — это оценка диапазона, в котором, вероятно, будет находиться фактическое значение, основанная на надежности измерения.

Давайте рассмотрим пример измерения сопротивления. Предположим, что принятое значение сопротивления материала составляет 3.4 Ом. Когда мы измеряем его дважды и получаем значения 3.35 Ом и 3.41 Ом, разница между этими измеренными значениями и принятым значением является ошибкой. Диапазон между двумя измеренными значениями, который составляет 0.06 Ом (3.41 – 3.35), представляет собой диапазон неопределенности.

Другой пример — измерение гравитационной постоянной в лаборатории. Принятый стандарт для ускорения свободного падения составляет 9.81 м/с². В эксперименте с маятником мы получаем такие значения, как 9.76 м/с², 9.6 м/с², 9.89 м/с² и 9.9 м/с². Эти отклонения от принятого значения являются ошибками. Среднее значение этих измерений составляет 9.78 м/с², а диапазон неопределенности составляет от 9.6 м/с² до 9.9 м/с². Абсолютная неопределенность составляет примерно половину этого диапазона, рассчитывается как (9.9 – 9.6) / 2 = 0.15 м/с².
Понимание ошибок и неопределенностей помогает нам оценить надежность наших измерений и определить диапазон возможных значений для фактической величины. Эти знания необходимы для принятия обоснованных решений на основе собранных данных.

Какова стандартная ошибка в среднем?

Стандартная ошибка среднего — это значение, которое показывает, насколько сильно измерения отклоняются от среднего значения. Чтобы рассчитать ее, выполните следующие действия:

1. Рассчитайте среднее значение: Найдите среднее значение всех измерений.
2. Вычесть и возвести в квадрат: Вычтите среднее значение из каждого измеренного значения и возведите результаты в квадрат.
3. Сложите значения: Сложите все вычтенные значения.
4. Разделите на квадратный корень размера выборки: Разделите сумму на квадратный корень из общего числа проведенных измерений.

Например, представьте, что вы взвешиваете объект четыре раза. Известно, что объект весит ровно 3.0 кг с точностью менее одного грамма. Ваши четыре измерения — 3.001 кг, 2.997 кг, 3.003 кг и 3.002 кг.

• Сначала вычислим среднее значение: (3.001 кг + 2.997 кг + 3.003 кг + 3.002 кг) / 4 = 3.00075 кг. Поскольку наши измерения имеют только три значащие цифры после запятой, мы принимаем значение как 3.000 кг.
• Затем вычтите среднее значение из каждого измерения и возведите результат в квадрат:
(3.001 кг – 3.000 кг)² = 0.000001 кг²
(2.997 кг – 3.000 кг)² = 0.000009 кг²
(3.003 кг – 3.000 кг)² = 0.000009 кг²
(3.002 кг – 3.000 кг)² = 0.000004 кг²
Учитывая только три значащие цифры после запятой, мы можем приблизительно принять первое значение равным 0.
• Далее складываем все квадраты разностей: 0 + 0.000009 кг² + 0.000009 кг² + 0.000004 кг² = 0.000022 кг²
• Наконец, разделите на квадратный корень из количества образцов (√4 = 2): √(0.000022 кг² / 4) = 0.002 кг

В этом случае стандартная ошибка среднего значения (σx) очень мала, что свидетельствует о том, что наши измерения близки к истинному значению веса объекта.

Что такое калибровка и допуск?

Допуск относится к диапазону между максимальным и минимальным допустимыми значениями для измерения. Калибровка, с другой стороны, представляет собой процесс настройки измерительного прибора для обеспечения того, чтобы все его измерения попадали в диапазон допуска. Для калибровки прибора его результаты измерений сравниваются с результатами более точных и аккуратных приборов или с эталонным объектом известного высокоточного значения.

Одним из примеров является калибровка весов.

Калибровка — это не разовая задача. Весы необходимо регулярно перекалибровывать, чтобы поддерживать их точность. Факторы окружающей среды, такие как температура, влажность и давление воздуха, могут влиять на показания весов. Например, изменения температуры могут привести к расширению или сжатию металлических компонентов весов, что приведет к неточным измерениям. Поэтому важно учитывать эти факторы окружающей среды во время калибровки.

Кроме того, при калибровке весов крайне важно использовать соответствующие гири. Использование слишком тяжелых или слишком легких гирь может исказить процесс калибровки и повлиять на точность весов. В целом, калибровка весов является важным шагом для получения точных и надежных измерений. Соблюдение надлежащих процедур калибровки и регулярная повторная калибровка имеют важное значение для поддержания точности весов.

Как сообщается о неопределенности?

При представлении результатов измерений важно сообщать о связанной с ними неопределенности. Это помогает другим понять потенциальную вариацию измерения и уровень уверенности в сообщаемом значении.

Например, если мы измеряем значение сопротивления 4.5 Ом с погрешностью 0.1 Ом, мы сообщаем его как 4.5 ± 0.1 Ом. Это означает, что мы уверены, что истинное значение сопротивления лежит в диапазоне от 4.4 Ом до 4.6 Ом.

Значения неопределенности актуальны во многих областях, включая производство, проектирование, архитектуру, механику и медицину. Они играют решающую роль в точном измерении и сообщении результатов. Сообщая значения неопределенности, мы можем минимизировать ошибки и улучшить качество наших измерений, что имеет важное значение в научных исследованиях, проектировании и здравоохранении.

Что такое абсолютные и относительные ошибки?

Ошибки измерения можно классифицировать как абсолютные и относительные. Абсолютные ошибки описывают разницу между измеренным значением и ожидаемым значением. Относительные ошибки, с другой стороны, измеряют, насколько значительна эта разница по отношению к истинному значению.

Абсолютная ошибка

Для расчета абсолютной погрешности используйте формулу: Абсолютная погрешность = измеренное значение – ожидаемое значение. Например, если ожидаемое значение равно 1.4 м/с, а измеренное значение равно 1.42 м/с, то абсолютная погрешность составит 1.42 м/с – 1.4 м/с = 0.02 м/с.

Важно отметить, что абсолютная погрешность может быть положительной или отрицательной. Положительная абсолютная погрешность означает, что измеренное значение выше ожидаемого значения, а отрицательная абсолютная погрешность означает, что измеренное значение ниже. В этом случае, поскольку абсолютная погрешность положительна, измеренное значение немного выше ожидаемого значения.

Хотя абсолютная погрешность полезна для оценки точности отдельного измерения, она не дает информации о точности измерения. Чтобы оценить точность, нам нужно рассмотреть диапазон значений, полученных из нескольких измерений одной и той же величины.

Относительная ошибка

Относительная погрешность — это мера разницы между измеренным значением и ожидаемым значением, выраженная в процентах от ожидаемого значения. Она особенно полезна для сравнения ошибок в значениях разной величины, поскольку учитывает масштаб измеряемых значений.

Формула для относительной погрешности: Относительная погрешность = (абсолютная погрешность / ожидаемое значение) x 100%. Используя предыдущий пример, где абсолютная погрешность составляла 0.02 м/с, а ожидаемое значение было 1.4 м/с, относительная погрешность составляет (0.02 м/с / 1.4 м/с) x 100% ≈ 1.43%.

Как мы видим, относительная погрешность меньше абсолютной, поскольку учитывает величину значений. В этом случае разница между измеренным значением и ожидаемым значением составляет всего 1.43% от ожидаемого значения.

Другим примером, иллюстрирующим разницу в масштабе, является ошибка в спутниковом снимке. Если ошибка в спутниковом снимке составляет 10 метров, она кажется большой, если рассматривать расстояния в масштабе человека. Однако, если изображение имеет размеры 10 на 10 километров, ошибка в 10 метров относительно мала, поскольку она составляет всего 0.1% от общей площади (поскольку 10 км = 10000 м, а 10 / (10000×10000)×100% = 0.0001% с точки зрения соотношения площадей). Сообщение относительной ошибки в процентах помогает читателям лучше понять значимость ошибки по отношению к ожидаемому значению.

Отображение неопределенностей и ошибок

Неопределенности обычно представляются в виде полос на графиках и диаграммах. Эти полосы простираются от измеренного значения до максимально и минимально возможных значений. Диапазон между максимальным и минимальным значениями является диапазоном неопределенности. См. следующий пример полос неопределенности:

‍

График, показывающий точки среднего значения каждого измерения. Полосы, идущие от каждой точки, указывают, насколько данные могут варьироваться.

Например, рассмотрим эксперимент, в котором вы измеряете скорость мяча, движущегося на расстояние 10 метров. Скорость мяча уменьшается по мере его движения. Вы отмечаете деления по 1 метру и используете секундомер для измерения времени, которое требуется мячу для перемещения между каждым делением. Из-за задержки в вашей реакции на запуск и остановку секундомера существует неопределенность в 0.2 м/с. Предположим, вы получили значения скорости 1.4 м/с, 1.22 м/с, 1.15 м/с и 1.01 м/с. Измерения, включая неопределенность, представлены как 1.4 ± 0.2 м/с, 1.22 ± 0.2 м/с, 1.15 ± 0.2 м/с и 1.01 ± 0.2 м/с. График результатов можно представить следующим образом:

На графике показано приблизительное представление. Точки представляют фактические значения 1.4 м/с, 1.22 м/с, 1.15 м/с и 1.01 м/с. Столбцы обозначают погрешность ±0.2 м/с.

На графике точки представляют фактические измеренные значения (1.4 м/с, 1.22 м/с, 1.15 м/с и 1.01 м/с), а полосы, отходящие от каждой точки, представляют неопределенность ±0.2 м/с. Это визуальное представление помогает быстро понять диапазон, в котором может находиться истинное значение для каждого измерения.

Как распространяются неопределенности и ошибки?

При выполнении расчетов с использованием значений с неопределенностями и ошибками важно учитывать эти неопределенности в расчетах, поскольку они могут повлиять на точность конечного результата. Этот процесс известен как распространение неопределенности или распространение ошибки, и он может привести к отклонению от фактических данных, также называемому отклонением данных.

Существует два распространенных подхода к распространению неопределенности: процентная погрешность и абсолютная погрешность. В подходе процентной погрешности мы вычисляем относительную погрешность для каждого измерения и суммируем их, чтобы определить общее распространение процентной погрешности. В подходе абсолютной погрешности мы складываем абсолютные погрешности каждого измерения, чтобы найти общее распространение абсолютной погрешности.

Например, если мы измеряем гравитационное ускорение как 9.91 м/с² с погрешностью ±0.1 м/с² и массу объекта как 2 ± 0.001 кг, относительная погрешность для гравитационного ускорения составляет (0.1 / 9.91)×100% ≈ 1%, а относительная погрешность для массы составляет (0.001 / 2)×100% = 0.05%. Чтобы найти общее распространение ошибки в процентах, мы складываем эти относительные погрешности вместе.

Чтобы вычислить распространение неопределенности в результате расчета, нам нужно вычислить ожидаемое значение, включая неопределенности. Например, при вычислении силы, создаваемой падающим объектом, с использованием формулы F = m * g (где m — масса, а g — ускорение свободного падения), мы вычисляем силу, используя измеренные значения вместе с их неопределенностями. Затем результат выражается как «ожидаемое значение ± значение неопределенности».

Сообщение о неопределенностях и ошибках в наших результатах имеет решающее значение, поскольку позволяет другим оценить точность и надежность наших измерений и расчетов.

Отчетность о неопределенностях

Чтобы сообщить результат измерения с неопределенностью, мы пишем вычисленное значение, а затем неопределенность. Мы также можем заключить величину в скобки для ясности. Например, если мы измеряем силу и обнаруживаем, что сила имеет неопределенность 0.21 Ньютона, а наше измеренное значение составляет 19.62 Ньютона, мы сообщаем его как 19.62 ± 0.21 Ньютона или (19.62 ± 0.21) Н.

Распространение неопределенностей

При распространении неопределенностей в расчетах существуют определенные правила для различных арифметических операций:

• Сложение и вычитание: При сложении или вычитании значений общая неопределенность является суммой отдельных неопределенностей. Например, если у нас есть два измерения (A ± a) и (B ± b) и мы их складываем, результат будет (A + B) ± (a + b). Предположим, мы складываем два куска металла длиной 1.3 м и 1.2 м с неопределенностями ±0.05 м и ±0.01 м соответственно. Общая длина составляет 1.3 + 1.2 = 1.5 м, а общая неопределенность составляет ±(0.05 м + 0.01 м) = ±0.06 м.

• Умножение на точное число: При умножении значения на точное число общая неопределенность вычисляется путем умножения неопределенности на это точное число. Например, если мы вычисляем площадь круга с радиусом r = 1 ± 0.1 м, а формула для площади круга A = πr². Неопределенность площади составляет 2πr×0.1. Подставляя r = 1 м, мы получаем 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 м² (приблизительное значение неопределенности).

• Деление на точное число: При делении значения на точное число общая неопределенность вычисляется путем деления неопределенности на это точное значение. Например, если у нас есть длина 1.2 м с неопределенностью ±0.03 м и мы делим ее на 5, неопределенность в результате составляет ±0.03 / 5 = ±0.006 м.

Отклонение данных

При выполнении расчетов со значениями, имеющими неопределенность, полученные данные будут отклоняться от фактических данных. Мы можем вычислить это отклонение, используя отклонение данных (представленное символом «δ»). Расчет отклонения данных зависит от типа операции, выполняемой над значениями.

• Отклонение данных после сложения или вычитания: Чтобы вычислить отклонение данных результата, мы используем формулу δ = √(a² + b²), где a и b — неопределенности значений, которые добавляются или вычитаются. Например, если мы вычтем два значения, A = 10 ± 0.2 и B = 8 ± 0.3, результат будет C = A – B = 2 ± 0.4. Отклонение данных C составляет δ = √(0.2² + 0.3²) = √(0.04 + 0.09) = 0.36.

• Отклонение данных после умножения или деления: Для умножения или деления нескольких измерений мы используем отношение неопределенности к действительному значению. Если у нас есть два значения A ± a и B ± b, и мы их умножаем, результат будет C = A * B ± (A*B) * √((a/A)² + (b/B)²). Если значений больше двух, мы добавляем в уравнение больше членов.

• Отклонение данных, если задействованы показатели: Если значение имеет показатель, мы умножаем показатель на неопределенность, а затем применяем формулу умножения и деления. Например, если у нас есть y = (A ± a)² * (B ± b)³, отклонение данных равно δ = √((2Aa)² + (3Bb)²). Если имеется более двух значений, в уравнение добавляются дополнительные члены.

Расчет отклонения данных помогает нам оценить влияние неопределенностей на наши результаты и определить точность и надежность наших измерений и расчетов.

В процессе обработки ошибок и неопределенностей округление чисел часто становится важным шагом для того, чтобы сделать значения более читаемыми. Это особенно верно при работе с незначительными или чрезвычайно большими неопределенностями, которые оказывают незначительное влияние на общие результаты. Округление может включать либо увеличение значения (округление вверх), либо его уменьшение (округление вниз).

Например, при измерении гравитационной постоянной на Земле измеренное значение может быть 9.81 м/с² с неопределенностью ±0.10003 м/с². Здесь часть значения неопределенности после первого десятичного знака, 0.0003, ничтожна по сравнению с общей неопределенностью 0.1. В результате разумно отбросить цифры после первого десятичного знака и округлить неопределенность до ±0.1 м/с², поскольку это упрощение не окажет существенного влияния на целостность измерения.

Однако крайне важно помнить, что округление само по себе может вносить дополнительные ошибки, особенно когда количество значащих цифр сокращается до очень низкого уровня. Таким образом, прежде чем принять решение об округлении или усечении значений, крайне важно тщательно оценить требуемый уровень точности для измерений и расчетов.

Округление целых и десятичных чисел

Процесс округления чисел требует определения того, какие значения являются значимыми, принимая во внимание как величину данных, так и желаемый уровень точности для измерений и вычислений. При округлении существует два основных подхода: округление вверх и округление вниз. Выбор между этими двумя зависит от цифры, следующей сразу за самой низкой – значимая цифра порядка.

При округлении в большую сторону мы отбрасываем менее значимые цифры. Например, 3.25 можно округлить до 3.3. И наоборот, при округлении в меньшую сторону мы также отбрасываем цифры, которые считаем менее значимыми. Например, 76.24 можно округлить до 76.2.
Как правило, если число заканчивается цифрой в диапазоне от 1 до 4, оно округляется в меньшую сторону. Если цифра в конце находится в диапазоне от 5 до 9, оно округляется в большую сторону. В частности, когда цифра равна 5, она обычно округляется в большую сторону. Например, и 3.15, и 3.16 округляются до 3.2, а 3.14 округляется до 3.1.

При возникновении проблемы мы часто можем вывести необходимое количество знаков после запятой (или значащих цифр) из предоставленных данных. Например, если график или набор данных представлен числами, имеющими только два знака после запятой, разумно ожидать, что наши ответы также должны быть представлены с двумя знаками после запятой. Уделение пристального внимания требуемому уровню точности является ключом к определению соответствующего количества знаков после запятой или значащих цифр.

Округленные величины с неопределенностями и ошибками

При работе с измерениями, которые сопровождаются ошибками и неопределенностями, значения с большими ошибками и неопределенностями играют доминирующую роль в определении общей неопределенности и значений ошибок. При ответе на вопросы, в которых указывается конкретное количество десятичных знаков или значащих цифр, требуется особый подход.

Например, рассмотрим два значения: (9.3 ± 0.4) и (10.2 ± 0.14). При сложении этих значений мы должны также сложить их неопределенности. Общая неопределенность рассчитывается как сумма абсолютных значений отдельных неопределенностей, которая в данном случае составляет ±(0.4 + 0.14)= ±0.54. Округление 0.54 до ближайшей десятой дает нам 0.5. Таким образом, результат сложения двух чисел вместе с их неопределенностями и округлением составляет 19.5 ± 0.5.

Если нам поручено умножить два значения, оба из которых имеют неопределенность, и нам нужно вычислить распространенную общую ошибку, мы можем вычислить процентную ошибку для каждого значения, а затем сложить их, чтобы получить общую ошибку. Например, если A = 3.4 ± 0.01 и B = 5.6 ± 0.1, процентные ошибки для A и B рассчитываются как (0.01 / 3.4)×100% ≈ 0.29% и (0.1 / 5.6)×100% ≈ 1.78% соответственно. Общая ошибка представляет собой сумму этих процентных ошибок, что составляет приблизительно 2.07%. Если нам требуется приблизить ответ до одного десятичного знака, мы можем либо просто взять первую десятичную цифру, либо округлить число в соответствии со стандартными правилами округления.

Подводя итог, можно сказать, что неопределенности и ошибки вносят изменчивость в измерения и связанные с ними расчеты. Отчетность о неопределенностях имеет решающее значение, поскольку позволяет пользователям понять потенциальный диапазон вариации измеренных значений. Ошибки и неопределенности распространяются во время расчетов, включающих данные с такими несовершенствами, и важно учитывать ошибку данных с наибольшей ошибкой или неопределенностью. Расчет того, как распространяются ошибки, имеет ценность, поскольку позволяет нам оценить надежность наших результатов.